Si hay algo que recuerdo del verano aparte del calor sofocante y las ganas de meterme un manotazo en la cara cada vez que notaba un mosquito volando por mi frente, son los viajes que hacíamos hacia la playa o hacia el puerto a pegarnos un baño todos los amigos de la cuadrilla. Nuestro peregrinaje personal era desde Santurce hasta el puerto de Zierbana o en su defecto desde Santurce hasta la playa de La arena, pero siempre iba acompañado por un frisbee, alguna pelota o por algún balón de fútbol. Si no había porterías, se hacían, y si por algún casual al había un campo de fútbol sala cerca, siempre era de agradecer pegar algunos chutes al balón o hacer alguna pachanguilla.. De pequeño y durante mi adolescencia tenía muchísima más fijación por el fútbol fijándome en los equipos que iban mejor en la liga española o incluso dándome cuenta de que otras ligas como la inglesa o la italiana también tenían su presencia. El Athletic Club de Aranzubia, Etxeberria y Guerrero, el Chelsea de Cech, Ballack y Lampard o la selección de Brasil con Ronaldo, Cafú y el revientabalones Roberto Carlos. Ese sentimiento se ha ido diluyendo con el tiempo y me he dado cuenta de que ahora mismo no me sé siquiera los jugadores que están presentes. Un gran factor determinante era que jugaba muchísimo la Pro Evolution soccer y me sabía cada jugador de cada equipo de memoria. Esa sensación se quedó en el año 2006 a partir de ese momento no sé ni siquiera quién está en primera división, quién en segunda y quién ha dejado de jugar al fútbol. Para mí Adriano sigue en el Inter de Milán y sigue teniendo 99 de potencia… Esos años jugaba de portero en el equipo de fútbol Dinamo de San Juan en Santurce. Siempre teniendo una fijación obsesiva por depende qué factores en mi vida, siendo en ese caso los uniformes de fútbol y los balones. Me llamaba muchísimo la atención que el escudo del Dinamo de San Juan, de un característico color morado, tuviese un balón de fútbol con los característicos pentágonos y hexágonos.. Con los años, esa forma de balón de fútbol ha ido variando con diferentes figuras poligonales, como las características estrellas negras del balón de la Champions League, el endemoniado jabulani del mundial de 2011, u otros balones de los que ya no me acuerdo porque como bien he dicho antes perdí la pasión por el fútbol hace mucho tiempo y por ende la obsesión por estos balones.. Tengo un recuerdo vago en el que un profesor dio una charla en la Universidad del País Vasco EHU, en la facultad de ciencia y tecnología, sobre balones de fútbol imposibles. Mencionaba precisamente que la forma del balón de la Champions League en 2D no tenía ni pies ni cabeza porque era dimensionalmente imposible. Y eso me ha hecho preguntarme ¿Hay alguna forma de hacer un balón de fútbol más simple con otras figuras geométricas que el característico de pentágonos negros y hexágonos blancos?. La matemática del balón de fútbol. Para entender de dónde viene esta historia, hay que viajar unos cuantos siglos atrás. Los antiguos griegos se obsesionaron con estudiar las formas geométricas que podían construirse usando caras planas e iguales. Después de muchas cuentas, llegaron a la conclusión de que sólo existen cinco cuerpos tridimensionales en los que todas las caras son iguales y se reparten simétricamente en el espacio. Son los famosos sólidos de Platón: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.. De todos ellos, solo el dodecaedro, que tiene 12 caras pentagonales, y el icosaedro, formado por 20 triángulos, se acercan mínimamente a parecer una esfera. Si estuviésemos en videojuego de la Sega MegaDrive o la Playstation 1, comprensible, pero la vida real requiere de más exigencia gráfica. Fue entonces cuando entraron en escena los sólidos de Arquímedes, que permitían combinar diferentes tipos de polígonos regulares en una misma estructura.. El más famoso de estos es el icosaedro truncado, que surge al recortar las esquinas de un icosaedro. Al hacerlo, cada vértice se reemplaza por un pentágono y los triángulos originales se transforman en hexágonos. El resultado es un objeto con 12 pentágonos y 20 hexágonos, que se parece mucho más a una esfera. Y, casualidad o no, es la base del diseño de los balones de fútbol tradicionales, como los que vimos en el Mundial de 1970 y los que yo veo en el escudo del Dinamo de San Juan.. Es que además de este razonamiento no solo los balones de fútbol sino también estructuras moleculares como una molécula llamada C₆₀ o fullereno, que tiene exactamente esa misma forma y además es una estructura que se podía encontrar en el hall de la facultad de ciencia y tecnología de la EHU, donde estudié la carrera de física.. Pentágonos y hexágonos dan lugar al balón de fútbol ideal, pero… ¿Por qué no sólo hexágonos o pentágonos?. Amén con las matemáticas. Cuando una pregunta se contesta con ‘las matemáticas no lo permiten’ me resulta catártico. Es una verdad absoluta. Si las mates dicen que no, es que no. Punto. Y no se pueden tener balones de fútbol pentagonales ni hexagonales porque las mates-dicen-que-no.. La clave está en la suma de los ángulos que se juntan en cada punto (o vértice) de la figura. Cada hexágono regular tiene ángulos internos de 120°. Si juntas tres hexágonos en un vértice, suman exactamente 360°, lo que encaja perfectamente en una superficie plana. Eso es lo que ocurre, por ejemplo, en un panal de abejas. Pero en una esfera, la suma de los ángulos que se reúnen en un punto tiene que ser menor de 360° para que la superficie se curve y se cierre sobre sí misma. Si sumara 360° o más, no habría curvatura posible.. La solución es introducir polígonos con ángulos más pequeños. Y el pentágono regular tiene un ángulo interno de 108°, que al combinarlo con hexágonos, provoca esa curvatura necesaria. Aquí entra en juego una fórmula clásica que ayuda a saber cuántas piezas de cada tipo necesitas para cerrar una superficie tridimensional: la fórmula de Euler, que dice que:. donde V es el número de vértices, E es el número de aristas y F es el número de caras. En este link a mi perfil de Patreon, de acceso libre y gratuito, podéis ver los cálculos que verifican que la fórmula de Euler se cumple con el icosaedro truncado. Además, si haces cuentas combinando hexágonos y pentágonos, no hay escapatoria: se necesitan exactamente 12 pentágonos para que todo cuadre. Ni uno más, ni uno menos. Los hexágonos pueden ser más o menos, dependiendo de lo grande y redondeado que quieras hacer el balón, pero los pentágonos son innegociables. Esto se debe a lo mencionado previamente con los ángulos, porque matemáticamente son necesarios exactamente 12 pentágonos para cerrar una red de hexágonos en una superficie esférica convexa. Incluso los balones de la Champions League, aunque lleven estrellas dibujadas, respetan esas posiciones de pentágono disfrazadas. De hecho, la estrella suele ocupar el lugar estructural de un pentágono, así que ya tenéis ese dato curioso e inútil para cuando juguéis una pachanguilla con los amigos y te cuelen un gol por toda la escuadra. Estate atento.. Detrás de cada gol hay siglos de matemáticas, como la fórmula que dice que no hay manera humana de hacer una esfera perfecta solo con hexágonos, que en Oliver y Benji los campos miden más que una jornada laboral de 12 horas y que en el fútbol los tiros desde fuera del área cuentan como triples. Siendo portero me llevé muchos balonazos y patadas en la cara, pero creedme, que sé del deporte rey.
Si hay algo que recuerdo del verano aparte del calor sofocante y las ganas de meterme un manotazo en la cara cada vez que notaba un mosquito volando por mi frente, son los viajes que hacíamos hacia la playa o hacia el puerto a pegarnos un baño todos los amigos de la cuadrilla. Nuestro peregrinaje personal era desde Santurce hasta el puerto de Zierbana o en su defecto desde Santurce hasta la playa de La arena, pero siempre iba acompañado por un frisbee, alguna pelota o por algún balón de fútbol. Si no había porterías, se hacían, y si por algún casual al había un campo de fútbol sala cerca, siempre era de agradecer pegar algunos chutes al balón o hacer alguna pachanguilla.
De pequeño y durante mi adolescencia tenía muchísima más fijación por el fútbol fijándome en los equipos que iban mejor en la liga española o incluso dándome cuenta de que otras ligas como la inglesa o la italiana también tenían su presencia. El Athletic Club de Aranzubia, Etxeberria y Guerrero, el Chelsea de Cech, Ballack y Lampard o la selección de Brasil con Ronaldo, Cafú y el revientabalones Roberto Carlos. Ese sentimiento se ha ido diluyendo con el tiempo y me he dado cuenta de que ahora mismo no me sé siquiera los jugadores que están presentes. Un gran factor determinante era que jugaba muchísimo la Pro Evolution soccer y me sabía cada jugador de cada equipo de memoria. Esa sensación se quedó en el año 2006 a partir de ese momento no sé ni siquiera quién está en primera división, quién en segunda y quién ha dejado de jugar al fútbol. Para mí Adriano sigue en el Inter de Milán y sigue teniendo 99 de potencia..
Esos años jugaba de portero en el equipo de fútbol Dinamo de San Juan en Santurce. Siempre teniendo una fijación obsesiva por depende qué factores en mi vida, siendo en ese caso los uniformes de fútbol y los balones. Me llamaba muchísimo la atención que el escudo del Dinamo de San Juan, de un característico color morado, tuviese un balón de fútbol con los característicos pentágonos y hexágonos.
Con los años, esa forma de balón de fútbol ha ido variando con diferentes figuras poligonales, como las características estrellas negras del balón de la Champions League, el endemoniado jabulani del mundial de 2011, u otros balones de los que ya no me acuerdo porque como bien he dicho antes perdí la pasión por el fútbol hace mucho tiempo y por ende la obsesión por estos balones.
Tengo un recuerdo vago en el que un profesor dio una charla en la Universidad del País Vasco EHU, en la facultad de ciencia y tecnología, sobre balones de fútbol imposibles. Mencionaba precisamente que la forma del balón de la Champions League en 2D no tenía ni pies ni cabeza porque era dimensionalmente imposible. Y eso me ha hecho preguntarme ¿Hay alguna forma de hacer un balón de fútbol más simple con otras figuras geométricas que el característico de pentágonos negros y hexágonos blancos?
La matemática del balón de fútbol
Para entender de dónde viene esta historia, hay que viajar unos cuantos siglos atrás. Los antiguos griegos se obsesionaron con estudiar las formas geométricas que podían construirse usando caras planas e iguales. Después de muchas cuentas, llegaron a la conclusión de que sólo existen cinco cuerpos tridimensionales en los que todas las caras son iguales y se reparten simétricamente en el espacio. Son los famosos sólidos de Platón: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
De todos ellos, solo el dodecaedro, que tiene 12 caras pentagonales, y el icosaedro, formado por 20 triángulos, se acercan mínimamente a parecer una esfera. Si estuviésemos en videojuego de la Sega MegaDrive o la Playstation 1, comprensible, pero la vida real requiere de más exigencia gráfica. Fue entonces cuando entraron en escena los sólidos de Arquímedes, que permitían combinar diferentes tipos de polígonos regulares en una misma estructura.
El más famoso de estos es el icosaedro truncado, que surge al recortar las esquinas de un icosaedro. Al hacerlo, cada vértice se reemplaza por un pentágono y los triángulos originales se transforman en hexágonos. El resultado es un objeto con 12 pentágonos y 20 hexágonos, que se parece mucho más a una esfera. Y, casualidad o no, es la base del diseño de los balones de fútbol tradicionales, como los que vimos en el Mundial de 1970 y los que yo veo en el escudo del Dinamo de San Juan.
Es que además de este razonamiento no solo los balones de fútbol sino también estructuras moleculares como una molécula llamada C₆₀ o fullereno, que tiene exactamente esa misma forma y además es una estructura que se podía encontrar en el hall de la facultad de ciencia y tecnología de la EHU, donde estudié la carrera de física.
Pentágonos y hexágonos dan lugar al balón de fútbol ideal, pero… ¿Por qué no sólo hexágonos o pentágonos?
Amén con las matemáticas
Cuando una pregunta se contesta con ‘las matemáticas no lo permiten’ me resulta catártico. Es una verdad absoluta. Si las mates dicen que no, es que no. Punto. Y no se pueden tener balones de fútbol pentagonales ni hexagonales porque las mates-dicen-que-no.
La clave está en la suma de los ángulos que se juntan en cada punto (o vértice) de la figura. Cada hexágono regular tiene ángulos internos de 120°. Si juntas tres hexágonos en un vértice, suman exactamente 360°, lo que encaja perfectamente en una superficie plana. Eso es lo que ocurre, por ejemplo, en un panal de abejas. Pero en una esfera, la suma de los ángulos que se reúnen en un punto tiene que ser menor de 360° para que la superficie se curve y se cierre sobre sí misma. Si sumara 360° o más, no habría curvatura posible.
La solución es introducir polígonos con ángulos más pequeños. Y el pentágono regular tiene un ángulo interno de 108°, que al combinarlo con hexágonos, provoca esa curvatura necesaria. Aquí entra en juego una fórmula clásica que ayuda a saber cuántas piezas de cada tipo necesitas para cerrar una superficie tridimensional: la fórmula de Euler, que dice que:
donde V es el número de vértices, E es el número de aristas y F es el número de caras. En este link a mi perfil de Patreon, de acceso libre y gratuito, podéis ver los cálculos que verifican que la fórmula de Euler se cumple con el icosaedro truncado. Además, si haces cuentas combinando hexágonos y pentágonos, no hay escapatoria: se necesitan exactamente 12 pentágonos para que todo cuadre. Ni uno más, ni uno menos. Los hexágonos pueden ser más o menos, dependiendo de lo grande y redondeado que quieras hacer el balón, pero los pentágonos son innegociables. Esto se debe a lo mencionado previamente con los ángulos, porque matemáticamente son necesarios exactamente 12 pentágonos para cerrar una red de hexágonos en una superficie esférica convexa
Incluso los balones de la Champions League, aunque lleven estrellas dibujadas, respetan esas posiciones de pentágono disfrazadas. De hecho, la estrella suele ocupar el lugar estructural de un pentágono, así que ya tenéis ese dato curioso e inútil para cuando juguéis una pachanguilla con los amigos y te cuelen un gol por toda la escuadra. Estate atento.
Detrás de cada gol hay siglos de matemáticas, como la fórmula que dice que no hay manera humana de hacer una esfera perfecta solo con hexágonos, que en Oliver y Benji los campos miden más que una jornada laboral de 12 horas y que en el fútbol los tiros desde fuera del área cuentan como triples. Siendo portero me llevé muchos balonazos y patadas en la cara, pero creedme, que sé del deporte rey.
